Опис дисципліни

Програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» складено відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалаврів напряму 113 «Прикладна математика».

Навчальна дисципліна належить до циклу математичної та природничо-наукової підготовки.

Предмет навчальної дисципліни — функції дійсного аргументу, нескінченно малі величини.

Міждисциплінарні зв’язки:

• дисципліна «Математичний аналіз» забезпечує вивчення дисциплін «Диференціальні рівняння», «Теорія ймовірності», «Чисельні методи» та «Рівняння математичної фізики» навчального плану ОКР «Бакалавр».

1. Мета та завдання навчальної дисципліни

1.1. Мета навчальної дисципліни

Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

• інтегрування та диференціювання функцій однієї та декількох дійсних змінних;
• представлення функцій у вигляді степеневих рядів та рядів Фур’є;
• обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних.

 1.2. Основні завдання навчальної дисципліни

Згідно з вимогами освітньо-професійної програми, студенти після засвоєння дисципліни «Математичний аналіз» мають продемонструвати такі результати навчання:

знання:

• основні положення теорії множин та математичної логіки, що лежать в основі дисципліни;
• теорію границь послідовностей і функцій;
• диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних і основні властивості диференційованих функцій, важливі для чисельних методів;
• теорію інтегралів Рімана та Лебега і їхнє застосування в прикладних задачах;
• теорію невласних інтегралів, в т. ч. залежних від параметрів, а також їхнє застосування в теорії гамма- та бета- функцій;
• теорію числових та функціональних рядів;
• інтегральне числення функцій багатьох змінних з елементами векторного аналізу;
• гармонічний аналіз;

уміння:

• знаходити границі послідовностей та функцій;
• досліджувати функції на неперервність та визначати їхні точки розриву;
• знаходити функції, еквівалентні даній в околі заданої точки;
• знаходити похідні та диференціали ( в т. ч. вищих порядків ) функцій однієї змінної, функцій заданих параметрично, неявно та складної і оберненої функції;
• знаходити многочлен Тейлора для функцій однієї і багатьох змінних і використовувати його до наближених обчислень з оцінкою похибки;
• будувати графіки функцій з дослідженням їх методами диференціального числення;
• знаходити первісні раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій;
• обчислювати визначені інтеграли від функції однієї змінної і вміти застосовувати їх до обчислення площ, об'ємів та поверхнь тіл обертання;
• досліджувати невласні інтеграли від функції однієї змінної на збіжність і обчислювати їх;
• знаходити частинні похідні та диференціали функції багатьох змінних, в т. ч. функцій заданих неявно та системою рівнянь;
• досліджувати функції на локальний та умовний екстремум;
• знаходити розвинення функцій багатьох змінних за формулою Тейлора;
• досліджувати на збіжність числові та функціональні ряди, знаходити область  та радіус збіжності степеневих рядів;
• обчислювати подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли обох типів;
• досліджувати функції на вимірність і обчислювати інтеграл Лебега по обмеженій вимірній множині;
• знаходити і досліджувати на збіжність ряди Фур'є функцій з відповідних класів;
• знаходити перетворення Фур'є абсолютно-інтегрованих функцій.

досвід:

• обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних;
• диференціювання функцій однієї та багатьох змінних;
• обчислення різних типів інтегралів;
• дослідження рядів на збіжність;
• представлення функцій степеневими рядами та рядами Фур’є.

2. Структура навчальної дисципліни

На вивчення дисципліни «Математичний аналіз» відводиться 495 годин / 16.5 кредиту ECTS.

Навчальна дисципліна складається з трьох  кредитних модулей:

1) «Математичний аналіз-1. Диференціальне числення»

2) «Математичний аналіз-2. Інтегральне числення»

3) «Математичний аналіз-3. Теорія поля».

Рекомендований розподіл навчального часу

3. Зміст навчальної дисципліни

Кредитний модуль 2. Інтегральне числення

РОЗДІЛ 1 НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ.

Тема 1.1               Первісна функція. Елементарні методи інтегрування

Тема 1.2               Інтегрування раціональних функцій

Тема 1.3               Інтегрування тригонометричних функцій

Тема 1.4               Інтегрування ірраціональних функцій

РОЗДІЛ 2 ІНТЕГРАЛ РІМАНА

Тема 2.1               Визначення інтегралу Рімана.

Тема 2.2               Властивості інтегралу Рімана

Тема 2.3               Інтеграл як функція верхньої межі

Тема 2.4               Застосування визначеного інтегралу

РОЗДІЛ 3 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

Тема 3.1               Визначення та властивості невласних інтегралів

Тема 3.2               Збіжність невласних інтегралів

РОЗДІЛ 4 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Тема 4.1               Простір Rⁿ та важливі класи його підмножин

Тема 4.2               Границя та неперервність функції багатьох змінних

Тема 4.3               Диференціювання функції багатьох змінних

Тема 4.4               Екстремуми функції багатьох змінних

РОЗДІЛ 5 ЧИСЛОВІ РЯДИ

Тема 5.1               Основні властивості збіжних рядів

Тема 5.2               Числові ряди з додатними елементами

Тема 5.3               Знакозмінні ряди

РОЗДІЛ 6 ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

Тема 6.1   Збіжність та рівномірна збіжність функціональних послідовностей та рядів

Тема 6.2   Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів

Тема 6.3   Степеневі ряди

4. Рекомендований перелік тем практичних занять

Основна ціль практичних занять — закріпити отримані на лекції основні положення по кожному з розділів, розширити ці знання за рахунок вирішення основних типів задач кожного з розділів дисципліни та набути навички з їх практичного використання. Для цього треба відпрацювати такі теми:

Кредитний модуль 2.

РОЗДІЛ 1 НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ.

• Визначення первісної. Таблиця первісних. Елементарні прийоми інтегрування.
• Інтегрування раціональних функцій
• Інтегрування ірраціональних функцій. Диференціальний біном
• Інтегрування трансцендентних функцій

РОЗДІЛ 2 ІНТЕГРАЛ РІМАНА

• Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної. Інтегрування частинами.
• Знаходження площ та довжини кривих.
• Обчислення об'ємів тіл
• Обчислення площин поверхонь.

РОЗДІЛ 3 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

• Визначення невласних інтегралів
• Критерії та ознаки дослідження на збіжність
• Невласні інтеграли у розумінні головного значення

РОЗДІЛ 4 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

• Границя функції багатьох змінних
• Похідна функції багатьох змінних. Частинні похідні. Похідна складної функції. Похідна за напрямком
• Формула Тейлора для функції багатьох змінних
• Частинні похідні. Дослідження функцій на диференційованість.
• Локальний екстремум функцій багатьох змінних. Умовний екстремум функції багатьох змінних
• Диференціювання неявних функцій.

РОЗДІЛ 5 ЧИСЛОВІ РЯДИ

• Визначення рядів. Елементарні властивості збіжних рядів
• Ряди з невід'ємними членами. Критерії та ознаки їх збіжності
• Знакозмінні ряди Критерії та ознаки їх збіжності

РОЗДІЛ 6 ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

• Поточкова і рівномірна збіжність функціональних послідовностей та рядів.
• Ознаки та критерії рівномірної збіжності
• Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів.
• Степеневі ряди. Радіус збіжності. Диференціювання та інтегрування степеневого ряду. Розклад функцій в степеневий ряд

6. Рекомендована література

6.1. Базова література

1. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. – М.: МЦНМО, 2002 – 664 с.
2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. – М.: МЦНМО, 2002 – 794 с
3. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий Курс в современном изложении. – К.: Факт, 2004. – 560 с.
4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 1. – М.: Физматлит, 2009. – 400 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 2. – М.: Физматлит, 2010. – 424 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1. – СПб.:  Лань, 2005. – 607 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2. – СПб.: Лань, 2005 – 800 с.

6.2. Допоміжна література

8. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М. Наука,1989-726с.
9. В.К.Дзядик. Математичний аналіз. К.”Вища школа”.1995.Том 1-495с.
10. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М. Наука: 1977-386с.
11. Чертов О.Р. Математичний аналіз для програмістів. – К.: Промені, 2005 – 280 с.
12. А.Я.Дороговцев. Математичний аналіз. К.”Либідь”.1993.Том 1-320с.
13. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука.1969.-440с.
14. Б.П.Демидович и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. Наука. 1969.-с.
15. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М. Наука.1984.
16. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. М. Наука.1986.-528с.
17. А.Я.Дороговцев. Математический анализ. Справочное пособие. К. Вища школа. 1985.-528с.
18. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 1-528с.
19. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 2-544с.
20. Л. Шварц. Анализ. М. «Мир». Том 1.1972.-824с.
21. Л.В. Флоринская, В.П. Хавин. Теория меры и интеграла. Вып. 2. Интеграл. Издательство Ленинградского университета. Л.1975.214с.
22. Б.М.Макаров, Л.В.Флоринская. Теория меры и интеграла. Вып.1 Мера.Измеримые функции. Л. 1974.-138с.