Математичний аналіз. Теорія поля

ПрограмаБакалаврат
Семестросінь
Курс2
Кількість кредитів ECTS4

Опис дисципліни

Програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» складено відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалаврів напряму 113 «Прикладна математика».

Навчальна дисципліна належить до циклу математичної та природничо-наукової підготовки.

Предмет навчальної дисципліни — функції дійсного аргументу, нескінченно малі величини.

Міждисциплінарні зв’язки:

  • дисципліна «Математичний аналіз» забезпечує вивчення дисциплін «Диференціальні рівняння», «Теорія ймовірності», «Чисельні методи» та «Рівняння математичної фізики» навчального плану ОКР «Бакалавр».

 

1. Мета та завдання навчальної дисципліни

1.1. Мета навчальної дисципліни

Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

  • інтегрування та диференціювання функцій однієї та декількох дійсних змінних;
  • представлення функцій у вигляді степеневих рядів та рядів Фур’є;
  • обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних.

 1.2. Основні завдання навчальної дисципліни

Згідно з вимогами освітньо-професійної програми, студенти після засвоєння дисципліни «Математичний аналіз» мають продемонструвати такі результати навчання:

знання:

  • основні положення теорії множин та математичної логіки, що лежать в основі дисципліни;
  • теорію границь послідовностей і функцій;
  • диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних і основні властивості диференційованих функцій, важливі для чисельних методів;
  • теорію інтегралів Рімана та Лебега і їхнє застосування в прикладних задачах;
  • теорію невласних інтегралів, в т. ч. залежних від параметрів, а також їхнє застосування в теорії гамма- та бета- функцій;
  • теорію числових та функціональних рядів;
  • інтегральне числення функцій багатьох змінних з елементами векторного аналізу;
  • гармонічний аналіз;

уміння:

  • знаходити границі послідовностей та функцій;
  • досліджувати функції на неперервність та визначати їхні точки розриву;
  • знаходити функції, еквівалентні даній в околі заданої точки;
  • знаходити похідні та диференціали ( в т. ч. вищих порядків ) функцій однієї змінної, функцій заданих параметрично, неявно та складної і оберненої функції;
  • знаходити многочлен Тейлора для функцій однієї і багатьох змінних і використовувати його до наближених обчислень з оцінкою похибки;
  • будувати графіки функцій з дослідженням їх методами диференціального числення;
  • знаходити первісні раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій;
  • обчислювати визначені інтеграли від функції однієї змінної і вміти застосовувати їх до обчислення площ, об'ємів та поверхнь тіл обертання;
  • досліджувати невласні інтеграли від функції однієї змінної на збіжність і обчислювати їх;
  • знаходити частинні похідні та диференціали функції багатьох змінних, в т. ч. функцій заданих неявно та системою рівнянь;
  • досліджувати функції на локальний та умовний екстремум;
  • знаходити розвинення функцій багатьох змінних за формулою Тейлора;
  • досліджувати на збіжність числові та функціональні ряди, знаходити область  та радіус збіжності степеневих рядів;
  • обчислювати подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли обох типів;
  • досліджувати функції на вимірність і обчислювати інтеграл Лебега по обмеженій вимірній множині;
  • знаходити і досліджувати на збіжність ряди Фур'є функцій з відповідних класів;
  • знаходити перетворення Фур'є абсолютно-інтегрованих функцій.

досвід:

  • обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних;
  • диференціювання функцій однієї та багатьох змінних;
  • обчислення різних типів інтегралів;
  • дослідження рядів на збіжність;
  • представлення функцій степеневими рядами та рядами Фур’є.

 

2. Структура навчальної дисципліни

На вивчення дисципліни «Математичний аналіз» відводиться 495 годин / 16.5 кредиту ECTS.

Навчальна дисципліна складається з трьох  кредитних модулей:

1) «Математичний аналіз-1. Диференціальне числення»

2) «Математичний аналіз-2. Інтегральне числення»

3) «Математичний аналіз-3. Теорія поля».

 

Рекомендований розподіл навчального часу

Форма навчання

Кредитні модулі

Всього

Розподіл навчального часу за видами занять

Семестрова атестація

 

 

Розподіл аудиторних годин на тиждень

за курсами і семестрами

кредитів

годин

Лекції

Практичні

заняття

СРС

І ІІ
I ІІ I ІІ

Денна

Всього

16.5

495

144

144

207

1

6.5

195

54

54

87

Екзамен

6   -

2

6

180

54

54

72

Екзамен

  6

3

4

120

36

36

48

Екзамен

- 4 -

 

3. Зміст навчальної дисципліни

Кредитний модуль 3. Теорія поля

РОЗДІЛ 1 ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРУ

Тема 1.1   Рівномірна збіжність сім'ї функцій за параметром. Властивості інтегралів залежних від параметру.

Тема 1.2.  Невласні інтеграли, залежні від параметру

РОЗДІЛ 2 КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ

Тема 2.1   Міра Жордана

Тема 2.2   Поняття кратного інтегралу по виірній множині.

Тема 2.3   Редукція кратного інтегралу до інтегралів по окремим змінним.

Тема 2.4   Відображення вимірних множин. Заміна змінних у кратному інтегралі

РОЗДІЛ 3 ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПОВЕРХНІ

Тема 3.1   Елементи диференціальної геометрії поверхні. Площа поверхні

РОЗДІЛ 4 МІРА ТА ІНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Тема 4.1   Міра Лебега

Тема 4.2   Вимірні функції. Інтеграл Лебега

Тема 4.3   Теорема Фубіні

Тема 4.4   Інтеграл Лебега, як функція множини. Теорема Радона-Нікодіма

РОЗДІЛ 5 КРИВОЛІНІЙНI ІНТЕГРАЛИ

Тема 5.1  Криволінійний інтеграл 1-го роду.

Тема 5.2  Криволінійний інтеграл 2-го роду. Формула Гріна

РОЗДІЛ 6 ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

Тема 6.1   Поверхневі інтеграли 1-го роду.

Тема 6.2   Поверхневий інтеграл 2-го роду

РОЗДІЛ 7 СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ПОЛЯ

Тема 7.1   Основні поняття. Формула Остроградського. Формула Стокса

Тема 7.2   Соленоідальні та потенціальні векторні поля

РОЗДІЛ 8 РЯДИ ФУР'Є ТА ІНТЕГРАЛ ФУР'Є

Тема 8.1   Тригонометричні ряди Фур'є

Тема 8.2   Перетворення Фур'є

 

4. Рекомендований перелік тем практичних занять

Основна ціль практичних занять — закріпити отримані на лекції основні положення по кожному з розділів, розширити ці знання за рахунок вирішення основних типів задач кожного з розділів дисципліни та набути навички з їх практичного використання. Для цього треба відпрацювати такі теми:

Кредитний модуль 3

РОЗДІЛ 1 ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРУ

  • Власні інтеграли, залежні від параметру. Диференціювання під знаком інтегралу. Інтегрування під знаком інтегралу
  • Невласні інтеграли, залежні від параметру. Диференціювання та інтегрування невласних інтегралів під знаком інтегралу.
  • Ейлерові інтеграли.

РОЗДІЛ 2 КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ

  • Обчислення подвійних інтегралів. Зміна порядку інтегрування. Заміна змінної в подвійному інтегралі. Обчислення площ. Полярні координати
  • Обчислення потрійного інтегралу. Обчислення об'ємів. Заміна змінних у потрійному інтегралі. Циліндричні та сферичні координати

РОЗДІЛ 3 ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПОВЕРХНІ

  • Площа поверхні. Обчислення площ поверхонь.

РОЗДІЛ 4 МІРА ТА ІНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

  • Міра Лебега. Відшукання мір Лебега різних множин. Продовження мір.
  • Вимірні функції Доведення вимірності різних функцій. Властивості.
  • Інтеграл Лебега Обчислення інтегралу Лебега. Властивості інтегралу Лебега.

РОЗДІЛ 5 КРИВОЛІНІЙНI ІНТЕГРАЛИ

  • Криволінійний інтеграл 1-го роду
  • Криволінійний інтеграл 2-го роду.
  • Формула Гріна.

РОЗДІЛ 6 ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

  • Поверхневі інтеграли 1-го роду
  • Поверхневий інтеграл 2-го роду

РОЗДІЛ 7 СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ПОЛЯ

  • Теорема Остроградського. Застосування формули Остроградського до обчислення поверхневих інтегралів.
  • Теорема Стокса. Застосування формули Стокса до обчислення криволінійних інтегралів.
  • Елементи теорії поля. Диференціальні операції: градієнт, дивергенція та ротор.

     РОЗДІЛ 8 РЯДИ ФУР'Є ТА ІНТЕГРАЛ ФУР'Є

  • Розвинення функцій в ряд Фур'є. Ряди Фур'є парних та непарних функцій.
  • Розвинення функцій в ряд Фур'є на довільному відрізку
  • Інтеграл Фур'є та перетворення Фур'є. Інтегральна формула Фур'є.

 

6. Рекомендована література

6.1. Базова література

  1. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. – М.: МЦНМО, 2002 – 664 с.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. – М.: МЦНМО, 2002 – 794 с
  3. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий Курс в современном изложении. – К.: Факт, 2004. – 560 с.
  4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 1. – М.: Физматлит, 2009. – 400 с.
  5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 2. – М.: Физматлит, 2010. – 424 с.
  6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1. – СПб.:  Лань, 2005. – 607 с.
  7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2. – СПб.: Лань, 2005 – 800 с.

6.2. Допоміжна література

  1. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М. Наука,1989-726с.
  2. В.К.Дзядик. Математичний аналіз. К.”Вища школа”.1995.Том 1-495с.
  3. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М. Наука: 1977-386с.
  4. Чертов О.Р. Математичний аналіз для програмістів. – К.: Промені, 2005 – 280 с.
  5. А.Я.Дороговцев. Математичний аналіз. К.”Либідь”.1993.Том 1-320с.
  6. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука.1969.-440с.
  7. Б.П.Демидович и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. Наука. 1969.-с.
  8. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М. Наука.1984.
  9. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. М. Наука.1986.-528с.
  10. А.Я.Дороговцев. Математический анализ. Справочное пособие. К. Вища школа. 1985.-528с.
  11. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 1-528с.
  12. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 2-544с.
  13. Л. Шварц. Анализ. М. «Мир». Том 1.1972.-824с.
  14. Л.В. Флоринская, В.П. Хавин. Теория меры и интеграла. Вып. 2. Интеграл. Издательство Ленинградского университета. Л.1975.214с.
  15. Б.М.Макаров, Л.В.Флоринская. Теория меры и интеграла. Вып.1 Мера.Измеримые функции. Л. 1974.-138с.