Математичний аналіз. Диференціальне числення

ПрограмаБакалаврат
Семестросінь
Курс1
Кількість кредитів ECTS6,5

Опис дисципліни

Програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» складено відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалаврів напряму 113 «Прикладна математика».

Навчальна дисципліна належить до циклу математичної та природничо-наукової підготовки.

Предмет навчальної дисципліни — функції дійсного аргументу, нескінченно малі величини.

Міждисциплінарні зв’язки:

  • дисципліна «Математичний аналіз» забезпечує вивчення дисциплін «Диференціальні рівняння», «Теорія ймовірності», «Чисельні методи» та «Рівняння математичної фізики» навчального плану ОКР «Бакалавр».

 

1. Мета та завдання навчальної дисципліни

1.1. Мета навчальної дисципліни

Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

  • інтегрування та диференціювання функцій однієї та декількох дійсних змінних;
  • представлення функцій у вигляді степеневих рядів та рядів Фур’є;
  • обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних.

 

 1.2. Основні завдання навчальної дисципліни

Згідно з вимогами освітньо-професійної програми, студенти після засвоєння дисципліни «Математичний аналіз» мають продемонструвати такі результати навчання:

знання:

  • основні положення теорії множин та математичної логіки, що лежать в основі дисципліни;
  • теорію границь послідовностей і функцій;
  • диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних і основні властивості диференційованих функцій, важливі для чисельних методів;
  • теорію інтегралів Рімана та Лебега і їхнє застосування в прикладних задачах;
  • теорію невласних інтегралів, в т. ч. залежних від параметрів, а також їхнє застосування в теорії гамма- та бета- функцій;
  • теорію числових та функціональних рядів;
  • інтегральне числення функцій багатьох змінних з елементами векторного аналізу;
  • гармонічний аналіз;

уміння:

  • знаходити границі послідовностей та функцій;
  • досліджувати функції на неперервність та визначати їхні точки розриву;
  • знаходити функції, еквівалентні даній в околі заданої точки;
  • знаходити похідні та диференціали ( в т. ч. вищих порядків ) функцій однієї змінної, функцій заданих параметрично, неявно та складної і оберненої функції;
  • знаходити многочлен Тейлора для функцій однієї і багатьох змінних і використовувати його до наближених обчислень з оцінкою похибки;
  • будувати графіки функцій з дослідженням їх методами диференціального числення;
  • знаходити первісні раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій;
  • обчислювати визначені інтеграли від функції однієї змінної і вміти застосовувати їх до обчислення площ, об'ємів та поверхнь тіл обертання;
  • досліджувати невласні інтеграли від функції однієї змінної на збіжність і обчислювати їх;
  • знаходити частинні похідні та диференціали функції багатьох змінних, в т. ч. функцій заданих неявно та системою рівнянь;
  • досліджувати функції на локальний та умовний екстремум;
  • знаходити розвинення функцій багатьох змінних за формулою Тейлора;
  • досліджувати на збіжність числові та функціональні ряди, знаходити область  та радіус збіжності степеневих рядів;
  • обчислювати подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли обох типів;
  • досліджувати функції на вимірність і обчислювати інтеграл Лебега по обмеженій вимірній множині;
  • знаходити і досліджувати на збіжність ряди Фур'є функцій з відповідних класів;
  • знаходити перетворення Фур'є абсолютно-інтегрованих функцій.

досвід:

  • обчислення границь функцій однієї та багатьох змінних;
  • диференціювання функцій однієї та багатьох змінних;
  • обчислення різних типів інтегралів;
  • дослідження рядів на збіжність;
  • представлення функцій степеневими рядами та рядами Фур’є.

 

 

2. Структура навчальної дисципліни

На вивчення дисципліни «Математичний аналіз» відводиться 495 годин / 16.5 кредиту ECTS.

 

Навчальна дисципліна складається з трьох  кредитних модулей:

1) «Математичний аналіз-1. Диференціальне числення»

2) «Математичний аналіз-2. Інтегральне числення»

3) «Математичний аналіз-3. Теорія поля».

 

Рекомендований розподіл навчального часу

Форма навчання

Кредитні модулі

Всього

Розподіл навчального часу за видами занять

Семестрова атестація

 

 

Розподіл аудиторних годин на тиждень

за курсами і семестрами

кредитів

годин

Лекції

Практичні

заняття

СРС

І ІІ
I ІІ I ІІ

Денна

Всього

16.5

495

144

144

207

1

6.5

195

54

54

87

Екзамен

6   -

2

6

180

54

54

72

Екзамен

  6

3

4

120

36

36

48

Екзамен

- 4 -

3. Зміст навчальної дисципліни

Кредитний модуль 1. Диференціальне числення

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ ТА МНОЖИНИ

Тема 1.1 Елементи теорії множин.

Тема 1.2 Відношення. Відображення. Функції.

Тема 1.3 Числові множини  

Тема 1.4 Потужність множин

Тема 1.5 Комплексні числа та дії над ними

РОЗДІЛ 2 ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ

Тема 2.1 Границя послідовності

Тема 2.2 Границя функції

Тема 2.3. Неперервні функції

РОЗДІЛ 3 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Тема 3.1 Похідна і диференціал.

Тема 3.2 Властивості диференцйованих функції.

Тема 3.3 Формула Тейлора.

Тема 3.4 Дослідження поведінки функції методами диференціального числення

4. Рекомендований перелік тем практичних занять

Основна ціль практичних занять — закріпити отримані на лекції основні положення по кожному з розділів, розширити ці знання за рахунок вирішення основних типів задач кожного з розділів дисципліни та набути навички з їх практичного використання. Для цього треба відпрацювати такі теми:

Кредитний модуль 1

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ ТА МНОЖИНИ

  • Основні класи функцій. Побудова графіків елементарними перетвореннями та за допомогою дослідження.
  • Принцип математичної індукції. Біном Ньютона.
  • Обмежені множини. Супремум та інфінум множини.
  • Потужність числових множин.
  • Комплексні числа та основні дії над ними

РОЗДІЛ 2 ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ

  • Поняття границі числової послідовності
  • Методи знаходження границь, ознаки існування границь
  • Підпослідовності та їх властивості. Часткові границі
  • Знаходження нестандартних границь
  • Границя функції в точці. Знаходження границь функції
  • Важливі границі та наслідки з них
  • Односторонні границі
  • Неперервні функції. Точки розриву. Рівномірна неперервність функцій.
  • Порівняння функцій. Відношення "О" та "о". Еквівалентні функції

РОЗДІЛ 3 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.

  • Похідна явної функції. Таблиця похідних. Знаходження похідних. Диференціал функції та його застосування до найближчих обчислень. Односторонні похідні.
  • Похідна оберненої функції, та функції, заданої параметрично. Геометричний зміст похідної.
  • Похідні та диференціали вищих порядків.
  • Правило Лопіталя. Знаходження границь функцій за правилом Лопіталя.
  • Формула Тейлора. Застосування формули Тейлора для знаходження границь функцій та наближеннях обчислень.
  • Застосування похідної для дослідження функції
  • Побудова графіків параметрично заданих функцій та функцій, заданих в полярній системі координат

6. Рекомендована література

6.1. Базова література

  1. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. – М.: МЦНМО, 2002 – 664 с.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. – М.: МЦНМО, 2002 – 794 с
  3. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий Курс в современном изложении. – К.: Факт, 2004. – 560 с.
  4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 1. – М.: Физматлит, 2009. – 400 с.
  5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 2. – М.: Физматлит, 2010. – 424 с.
  6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1. – СПб.:  Лань, 2005. – 607 с.
  7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2. – СПб.: Лань, 2005 – 800 с.

6.2. Допоміжна література

  1. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М. Наука,1989-726с.
  2. В.К.Дзядик. Математичний аналіз. К.”Вища школа”.1995.Том 1-495с.
  3. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М. Наука: 1977-386с.
  4. Чертов О.Р. Математичний аналіз для програмістів. – К.: Промені, 2005 – 280 с.
  5. А.Я.Дороговцев. Математичний аналіз. К.”Либідь”.1993.Том 1-320с.
  6. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука.1969.-440с.
  7. Б.П.Демидович и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. Наука. 1969.-с.
  8. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М. Наука.1984.
  9. Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехов, М.И.Шабулин. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. М. Наука.1986.-528с.
  10. А.Я.Дороговцев. Математический анализ. Справочное пособие. К. Вища школа. 1985.-528с.
  11. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 1-528с.
  12. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М. Наука,1990. Том 2-544с.
  13. Л. Шварц. Анализ. М. «Мир». Том 1.1972.-824с.
  14. Л.В. Флоринская, В.П. Хавин. Теория меры и интеграла. Вып. 2. Интеграл. Издательство Ленинградского университета. Л.1975.214с.
  15. Б.М.Макаров, Л.В.Флоринская. Теория меры и интеграла. Вып.1 Мера.Измеримые функции. Л. 1974.-138с.